《Statistics and Probability Letters》 2014年第91卷刊發我院王輝教授與潘家柱博士的合作論文《Normal mixture quasi maximum likelihood estimation for non-stationary TGARCH(1,1) models》

現代金融理論認為，風險評估和定價這兩個金融市場活動中的核心都離不開對金融資産收益的波動率的度量，對波動率的有效辨識直接影響到資産定價、資産配置以及風險管理。因此，自時變波動率模型自回歸條件異方差模型（ARCH/GARCH）問世以來，它們已在金融經濟中得到了廣泛應用。大量的實證研究表明，金融數據的新息具有尖峰厚尾性，且具有杠杆效應。另一方面，非平穩性也是經濟和金融時間序列的一個重要特征，如果對非平穩性的序列拟合一個平穩的模型則會導緻錯誤的模型形式和非常差的波動率預測，因此我們需要考察估計對TGARCH模型平穩性與否的穩健性。

與僞最大似然估計（QMLE）相比，基于正态混合分布的僞最大似然估計（NM-QMLE）對于厚尾數據更加有效。本文提出了利用不帶限制的NM-QMLE來估計非平穩TGARCH模型，并且證明了該估計在一定正則性條件下除位置參數以外的其他參數具有相合性。由于本文對位置參數不作任何限制，且平穩情形下該估計也是相合的，從而在進行TGARCH模型的估計時，不論模型平穩與否，都可以直接進行估計。

自回歸條件異方差模型（ARCH/GARCH）刻畫了金融收益率波動率的時變性、聚集性和厚尾性，自問世以來備受矚目，且在金融經濟中得到了廣泛應用。然而，标準的GARCH模型是對稱的，然而實證表明異方差效應會随着誤差的正或負而有所不同，即存在杠杆效應或非對稱性，為了能更好地刻畫實際金融數據的非對稱性特征，文獻中提出了TGARCH模型。對于該類模型的估計，文獻中最常用的方法是基于正态分布的僞最大似然估計（G-QMLE），并且證明了在一定條件下該估計是相合的和漸近正态的。大量的實證研究表明，金融數據具有尖峰厚尾性，新息的真實分布與正态分布相差甚遠，從而G-QMLE的有效性比較差，正态混合分布卻因為其可以更好地刻畫分布的厚尾性和有偏性而備受青睐。另一方面，大量實證研究表明金融收益率波動率可能是非平穩的甚至是爆炸的，因此我們很有必要研究非平穩波動率模型的估計和建模問題。

綜合考慮上述因素，本文對非平穩的TGARCH（1，1）模型提出了基于正态混合分布的僞最大似然估計（NM-QMLE）,并且從理論上證明了在一定條件下該估計具有相合性和漸近正态性。由于估計的有效性很難從理論上證明，我們基于蒙特卡洛方法對其進行了仿真研究，結果表明當新息的尾部越厚或者偏度越大時，NM-QMLE比G-QMLE更加有效。本文的最後對意大利2011年1月至2011年底的意大利5年期CDS數據的波動率進行建模分析，實證結果表明新息的分布更接近正态混合分布，基于傳統的G-QMLE方法将導緻錯誤的模型選擇和較差的模型拟合，基于本文方法的建模更加有效。